Question

如图所示,直线l₁和l₂相交于点M,l₁⊥l₂,点N∈l₁,以A、B为端点的曲线段C上任一点到l₂的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.

Answer 1

剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分,求曲线方程需建立适当的直角坐标系,设出抛物线方程,由条件求出待定系数即可,求出曲线方程后要标注x、y的取值范围.

解：以直线l₁为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段C是以点N为焦点,以l₂为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点.

    设曲线段C的方程为y²=2px(p＞0)(x_a≤x≤x_b,y＞0),其中x_a、x_b为A、B的横坐标,p=|MN|,

所以M(-,0)、N(,0).

    由|AM|=,|AN|=3,得

    (x_a+)²+2px_a=17,                    ①

    (x_a-)²+2px_a=9.                      ②

    ①②联立,解得x_a=,代入①式,并由p＞0,解得或

    因为△AMN为锐角三角形,所以＞x_A.

    故舍去所以

    由点B在曲线段C上,得x_b=|BN|-=4.

    综上,曲线段C的方程为y²=8x(1≤x≤4,y＞0).