Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，设．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}中最大项；
（3）求证：对于给定的实数λ，一定存在正整数k，使得当n≥k时，不等式λS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用递推关系，再写一式，两式相减，可得，利用，即可证明数列{b_n}是等差数列，从而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列{a_n•b_n}的通项，从而可得数列的单调性，即可求最大项；
（3）利用错位相减法求数列的和，确定相应的值域，即可证得结论．
解答：（1）证明：∵，
∴n≥2时，
两式相减可得
∴
∴
∵
∴b_n-b_n-1=4
∵n=1时，，∴
∴=-1
∴数列{b_n}是以-1为首项，4为公差的等差数列
∴，
（2）解：a_n•b_n=
令f（n）=，则=
令＜1，则16n²-72n+49＞0
∴n＞5时，＜1，n＜5时，＞1
∴数列从第一项到第四项，单调递增，从第五项开始，单调递减
所以最大项是第四项；
（3）证明：∵
∴数列{a_n}的前n项和为S_n=++…+
∴S_n=+…++
两式相减可得S_n=++…+-
∴S_n=3-
∴S₁=
∴S_n的值域[，3），
∵b_n=4n-5，∴b_n的值域[-1，+∞），
∴对于给定的实数λ，一定存在正整数k，使得当n≥k时，不等式λS_n＜b_n恒成立．
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查数列的单调性，考查学生分析解决问题的能力，能力要求强，有难度．