Question

已知函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”。记集合

（1）已知，若是在上单调递增函数，是否有？若是，请证明。

（2）记表示集合中元素的个数，问：

若函数，若,则是否等于0？若是，请证明，

若，试问：是否一定等于1？若是，请证明

Answer 1

（1）证明：先证 任取，则

                   

       再证 任取

           若，不妨设

           由单调递增可知： 与 矛盾

           同理也矛盾，所以

          

      综上：

（2）①若  由于无实根  则对任意实数x，

     从而  故无实根

  同理若  对任意实数x， ，从而 

故也无实根

  

②不妨设是B中唯一元素  则

  令  那么  而

  故  说明t也是的不动点

  由于 只有唯一的不动点   故  即

  这说明t也是的不动点，从而存在性得证

以下证明唯一性：若还有另外一个不动点m，即

  则  这说明还有另外一个稳定点m

  与题设矛盾。