Question

如图，在直三棱柱中，，，为棱 上的一点，分别为、的重心．
（1）求证：；
（2）若二面角的正切值为，求两个半平面、所成锐二面角的余弦值；
（可选）若点在平面的射影正好为,试判断在平面的射影是否为．

Answer 1

（1）证明：设的中点分别为
分别是的重心
三点共线，且
三点共线，且

在矩形中显然有
;
（2）方法一：因为在之三棱柱中，由于，所以两两垂直故可以建立以为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，则有：，

可设点的坐标为，面的法向量为，

可以取
显然面的法向量为
由二面角的正切值为，则易求得求二面角的余弦值为
.
即点为的中点；
同理可求得面的法向量
故
两个半平面、所成锐二面角的余弦值．
方法二：连接，则在等腰中，
又易证：

为二面角的平面角
在中，,而在三角形中易求得
，即得到点是的中点
以下解法同解法一.

略