Question

（本题满分12分）如图，三角形和梯形所在的平面互相垂直， ，，是线段上一点，．

（Ⅰ）当时，求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）是否存在点满足平面？并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在点G，理由见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取AB中点D，连接GD,CD， 1分

又GB=GF，所以．

因为，所以,

四边形GDCE是平行四边形， 2分

所以

因为平面ABC，CD平面ABC

所以EG∥平面ABC． 4分

（Ⅱ）因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，

且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，所以AF⊥AB，AF⊥BC 5分

因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．

则F（0,0,2），B（2,0,0），C（2,2,0），E（2,2,1）， 6分

是平面ABF的一个法向量．

设平面BEF的法向量，则

，即

令y=1，则z=-2,x=-2，所以,

所以， 8分

故二面角E-BF-A的正弦值为。 9分．

（Ⅲ）因为，所以BF与AE不垂直, 11分

所以不存在点G满足BF⊥平面AEG． 12分

考点：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，二面角的求法，利用空间向量解决面面角，直线与平面的

位置关系