Question

（2013•南通三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知

sinC

2sinA-sinC

=

b2-a2-c2

c2-a2-b2

．
（1）求角B的大小；
（2）设T=sin²A+sin²B+sin²C，求T的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据余弦定理，将题中等式化简整理，可得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，称项化简得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在两边约去sinA得cosB=

1

2

，结合三角形内角取值范围即可得到角B的大小；
（2）根据B=

π

3

代入，结合二倍角的余弦公式降次，再用辅助角公式合并可得T=sin²A+sin²B+sin²C=

7

4

-

1

2

sin（

π

6

-2A）．最后根据角A的取值范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得到T的取值范围．

解答：解：（1）∵在△ABC中，b²=a²+c²-2accosB，
∴b²-a²-c²=-2accosB，同理可得c²-a²-b²=-2abcosC
∵

sinC

2sinA-sinC

=

b2-a2-c2

c2-a2-b2

∴

sinC

2sinA-sinC

=

-2accosB

-2abcosC

=

ccosB

bcosC

=

sinCcosB

sinBcosC

，…（3分）
∵sinC≠0，可得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，…（5分）
∵sinA≠0，∴等式两边约去sinA，可得cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，∴角B的大小

π

3

．                 …（7分）
（2）∵B=

π

3

，sin²A=

1

2

（1-cos2A），sin²C=

1

2

（1-cos2C）
T=sin²A+sin²B+sin²C=

7

4

-

1

2

(cos2A+cos2C)
∵A+C=

2π

3

，可得2C=

4π

3

-2A，
∴cos2A+cos2C=cos2A+cos（

4π

3

-2A）=

1

2

cos2A-

3

2

sin2A=sin（

π

6

-2A）
因此，T=

7

4

-

1

2

(cos2A+cos2C)=

7

4

-

1

2

sin（

π

6

-2A）…（11分）
∵0＜A＜

2π

3

，可得-

7π

6

＜

π

6

-2A＜

π

6

，
∴-1≤sin（

π

6

-2A）＜

1

2

，可得

3

2

＜

7

4

-

1

2

sin（

π

6

-A）≤

9

4

因此，T=sin²A+sin²B+sin²C的取值范围为（

3

2

，

9

4

]…（14分）

点评：本题在△ABC中给出边角关系式，求角B的大小并求三角正弦的平方和的取值范围．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．