题目内容

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H，K，L分别为平行六面体棱的中点．求证，
（1） $数学公式$ ；
（2）E，F，G，H，K，L六点共面．

证明：（1）设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$

（2）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴EF∥HK 由公理2可知，E，F，H，K四点共面．
连接AC，FK，∵G，H为AB，BC的中点∴GH∥AC
∵AF∥CK AF=CK∴四边形ACKF为平行四边形∴AC∥FK
∴GH∥FK∴F，G，H，K四点共面
由公理2知：过不共线的三点有且只有一个平面，∴E，F，G，H，K，L六点共面．
分析：（1）通过空间向量基本定理，利用基底表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 即可得到三者的关系．
（2）利用公理2的推论可得四点共面，然后利用同一法可证得E，F，G，H，L六点共面．
点评：本题主要考查空间点，线，面的位置关系以及空间向量的运算，注意利用公理2确定平面的方法，是个基础题．