Question

对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD-EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则(

AB

×

AD

)•

AE

=（　　）

• A、4
• B、8
• C、2

  2

• D、4

  2

Answer 1

分析：根据题意和向量积定义，判断出向量

AB

×

AD

的方向且垂直平面ABCD，由数量积的运算需要求出向量

AB

×

AD

和

AE

所成角θ的余弦值，即由题意作EI⊥AC于I，则＜AEI=θ，过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD，在直角三角形求出cosθ的值和向量的模，最后代入向量积和数量积定义求解．

解答：解：据向量积定义知，向量

AB

×

AD

垂直平面ABCD，且方向向上，设

AB

×

AD

与

AE

所成角为θ．
∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，
∴点E在底面ABCD上的射影在直线AC上．
作EI⊥AC于I，则EI⊥面ABCD，∴θ+∠EAI=

π

2

．
过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD．
∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，EJ=

3

．
又∵∠CAD=30°，IJ⊥AD，∴AI=

2 3

3

．
∵AE=2，EI⊥AC，∴cos∠EAI=

AI

AE

=

3

3

．
∴sinθ=sin(

π

2

-∠EAI)=cos∠EAI=

3

3

，cosθ=

6

3

．
故(

AB

×

AD

)•

AE

=|

AB

||

AD

|sin∠BAD|

AE

|cosθ=8×

3

2

×

6

3

=4

2

，
故选D．

点评：本题是新定义题目，需要抓住新定义中的本质找到解题的关键点，即

AB

×

AD

的方向和具体位置，根据图形和条件作出并加以证明，还需要利用几何知识和向量数量积的运算进行求解，考查分析问题和解决问题的能力．