Question

已知函数f(x)=4x³+ax²+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=-12x,且f(1)=-12.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在［-3,1］上的最值.

Answer 1

思路分析：本题主要考查导数的几何意义，f(x)在x=1处的导数即为切线的斜率，在求函数的最值时，可利用求最值的一般步骤.

解：(1)f′(x)=12x²+2ax+b,而y=f(x)在x=1处的切线方程为:

y=-12x

∴a=-3,b=-18.

故f(x)=4x³-3x²-18x+5.

(2)∵f′(x)=12x²-6x-18=6(x+1)(2x-3).

令f′(x)=0,解得临界点为x₁=-1,x₂=.

那么f(x)的增减性及极值如下：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,)		(,+∞)
f′(x)的符号	+	0	-	0	+
f(x)的增减性	递增	极大值16	递减	极小值	递增

∵临界点x₁=-1属于［-3,1］,且f(-1)=16.

又f(-3)=-76,f(1)=-12,

∴函数f(x)在［-3,1］上的最大值为16,最小值为-76.