Question

【题目】已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线上一点，圆与轴相切（为圆心），且，关于点对称.

（1）求圆和抛物线的标准方程；

（2）过的直线交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）的标准方程为.的标准方程为（2）见证明

【解析】

（1）根据题意可得，解得a、p,即可求出圆与抛物线的标准方程，

（2）设l的斜率为k，那么其方程为y＝k（x+2），根据韦达定理和弦长公式即可证明．

（1）设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为.

已知在直线上，故可设

因为，关于对称，所以，解得

所以的标准方程为.

因为与轴相切，故半径，

所以的标准方程为.

（2）由（1）知，直线的斜率存在，设为，且方程为

则到直线的距离为，

所以，

由消去并整理得：.

设，，则，，.

所以

因为，，，所以

所以，即.