Question

已知函数f（x）=

1

lg(5x+ 4 5x +m)

的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-3，+∞）
• B、（-∞，-3）
• C、（-4，+∞）
• D、（-∞，-2）

Answer 1

分析：由对数函数的定义可知真数大于0，根据分母不为0，由对数的运算法则得到真数不为1，真数大于0列出不等式，根据基本不等式变形，得到关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的取值范围；根据真数不为1，设t=5^x，把不等式变形，若根的判别式小于0，方程无解，满足题意，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，若方程有负数解也满足题意，故根据韦达定理得到两根之积为4大于0，从而得到两根之和应小于0，列出关于m的不等式，得到m的范围，综上，求出所有范围的并集即可得到实数m的范围．

解答：解：∵5^x＞0，∴5^x+

4

5x

≥4，当且仅当5^x=

4

5x

，即x=log₅²时取等号，
根据负数和0没有对数得：5^x+

4

5x

+m≥4+m＞0，解得m＞-4，
又根据分母不为0得到：5^x+

4

5x

+m≠1，令5^x=t＞0，化为t+

4

t

+m≠1，
∵t＞0，∴当t²+（m-1）t+4=0没有解或解为负数时，t²+（m-1）t+4≠0，
若△=（m-1）²-16＜0，解得：-3＜m＜5，方程无解，满足题意；
若t²+（m-1）t+4=0没有正数解，根据两根之积为4＞0，得到两根为同号，
故要保证两根为负数，需两根之和1-m＜0，解得m＞1，
综上，实数m的范围是m＞-3，
则实数m的取值范围是（-3，+∞）．
故选A

点评：此题考查了对数函数的定义域，求对数函数定义域时注意真数大于0且分母不为0．解答此题时运用了基本不等式，韦达定理，以及换元的思想，要求学生掌握知识要全面，考虑问题要周全．