Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=

2

2

，cosB=

3

2

．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a-b=4-2

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，cosA=

2

2

，cosB=

3

2

，可得sinA=

2

2

，sinB=

1

2

，由sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，运算求得结果．
（Ⅱ）由正弦定理求出a=4，b=2

2

，根据△ABC的面积 S=

1

2

absinC求得结果．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，cosA=

2

2

，cosB=

3

2

，∴角A，B为锐角，
∴sinA=

2

2

，sinB=

1

2

．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

6 +  2

4

．  
（Ⅱ）由正弦定理知：

a

sinA

=

b

sinB

，由（Ⅰ）得a=

2

 b，
∵a-b=4-2

2

，∴

2

 b-b=4-2

2

，∴a=4，b=2

2

．
故△ABC的面积 S=

1

2

 absinC=

1

2

×4×2

2

×

6 + 2

4

=2

3

+2．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，两角和差的正弦公式，求出 sinC  和 b 的值，是解题的关键．