Question

16．设函数f（x）=lnx-1-x-a．
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）=lnx-1-x，求导f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，从而确定函数的单调区间．
（2）由（1）知，f_max（x）=f（1）=0-1-1=-2-a，从而化恒成立问题为最值问题．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=lnx-1-x，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
故当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
（2）由（1）知，f_max（x）=f（1）=0-1-1=-2-a，
故若使f（x）≤0恒成立，
只需使-2-a≤0，
即a≥-2．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题．