题目内容

1.(1)已知函数y=$\frac{1}{{x}^{2}-mx+1}$的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)若关于x的不等式-x2-ax+a-3≤0在[-2,2]上恒成立.求实数a的取值范围.

分析 (1)由题意可得x2-mx+1≠0恒成立,即m2-4<0,解不等式即可得到m的范围;
(2)a(1-x)≤x2+3,对x讨论,当x=1时,当1<x≤2时,当-2≤x<1时,运用参数分离和对号函数的单调性,即可得到最值,解不等式可得a的范围.

解答 解:(1)函数y=$\frac{1}{{x}^{2}-mx+1}$的定义域为R,
即有x2-mx+1≠0恒成立,即m2-4<0,
解得-2<m<2,
则实数m的取值范围是(-2,2);
(2)关于x的不等式-x2-ax+a-3≤0在[-2,2]上恒成立,
即为a(1-x)≤x2+3,
当x=1时,0<3显然成立;
当1<x≤2时,-a≤$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$的最小值,
由x-1=t(0<t≤1),$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$=$\frac{(t+1)^{2}+3}{t}$=t+$\frac{4}{t}$+2在(0,1]递减,
t=1时,取得最小值,且为7,则-a≤7,
解得a≥-7;
当-2≤x<1时,-a≥$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$的最大值,
由x-1=t(-3≤t<0),$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$=$\frac{(t+1)^{2}+3}{t}$=t+$\frac{4}{t}$+2,
t=-2时,取得最大值,且为-2,则-a≥-2,
解得a≤2.
综上可得-7≤a≤2.

点评 本题考查函数的恒成立问题的求法,注意运用参数分离和单调性求最值,属于中档题.

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