Question

如图，ABCD为空间四边形，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且，．求证：直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上．

Answer 1

答案：
解析：

证明：如图所示，因为点E，F分别是AB，BC的中点，从而可以得到EF∥AC．同理，因为点G，H分别在CD，AD上，且， 从而GH∥AC，故EF∥GH，从而直线EH，FG在同一平面上，又显然EH，FG不平行，故它们必交于一点． 设直线EH与BD直交于点O，过点D作平行于直线AB的辅助线DI，交EO于点I．从而可以得到△AEH∽△DIH，又EA=EB，从而有BE∥DI且BE=2DI，故得DO=BD．同样，设直线FG与BD相交于点，这点D作平行于直线BC的辅助线DJ，交FO于点J，利用相似三角形的性质也可以得到=BD，从而DO=，即点O与点重合，故直线EH，BD，FG相交于同一点O．