Question

4．已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=60°，AC=BC=4，AA₁=6，E、F分别是棱CC₁、AB的中点．
（1）求证：平面 AEB₁⊥平面AA₁B₁B；
（2）求四棱锥A-ECBB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）取AB₁的中点G，AB的中点F，连接FG，EG，由已知得四边形ECFG是平行四边形，从而EG∥CF，由此能证明面AEB₁⊥面AA₁B₁B．
（2）作AH垂直BC于点H，AH⊥面BCC₁B₁，由此能求出四棱锥A-ECBB₁的体积．

解答 （1）证明：取AB₁的中点G，AB的中点F，连接FG，EG，
则$FG∥B{B_1}，FG=\frac{1}{2}B{B_1}$．
∵EC∥BB₁，EC=$\frac{1}{2}B{B}_{1}$，∴FG∥EC，FG=EC，
∴四边形ECFG是平行四边形，…（3分）
∴EG∥CF．
由于AC=BC，∴CF⊥AB，
又∵BB₁⊥CF，BB₁∩AB=B．∴CF⊥面AA₁B₁B，∴EG⊥面AA₁B₁B．
∵EG?面AEB₁，∴面AEB₁⊥面AA₁B₁B．…（6分）
（2）解：作AH垂直BC于点H，由AC=BC=4，∠ACB=60°，∴$AH=2\sqrt{3}$．…（8分）
∵AH⊥BC，BC=面ABC∩面BCC₁B₁，ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴AH⊥面BCC₁B₁．…（9分）$\begin{array}{l}{S_{BCE{B_1}}}=18$，
∴${V_{A-BCE{B_1}}}=\frac{1}{3}AH•{S_{BCE{B_1}}}=12\sqrt{3}\end{array}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．