Question

(x

3

2

-

3

x

)n的展开式中各项的二项式系数之和为256．
（1）求展开式中各项系数之和；
（2）求展开式中含x⁶的项；
（3）求展开式中系数的绝对值最大的项．

Answer 1

分析：（1）先利用二项式系数和公式列出方程求出n，通过给x赋值1，求出展开式的各项系数和．
（2）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数等于6，求出展开式中含x⁶的项；
（3）根据系数的绝对值最大满足大于等于前一项的系数绝对值同时大于等于后一项的系数绝对值，列出不等式求出解．

解答：解：(x

3

2

-

3

x

)n的展开式中各项的二项式系数之和2ⁿ=256?n=8．．
（1）令x=1得：各项系数和S=(1-

3

1

)8=256．．
（2）设第r+1项为Tr+1=

C

r 8

(x

3

2

)8-r(

-3

x

)r=(-3)r

C

r 8

x12-2r（0≤r≤8，且r∈Z）
当r=3时，即为展开式中含x⁶的项：T₄=-1512x⁶．
（3）设第r+1展开式系数的绝对值为3^rC₈^r最大
则

3r C r 8 ≥3r-1 C r-1 8 3r C r 8 ≥3r+1 C r+1 8

?

r≤ 27 4 r≥ 23 4

?

23

4

≤r≤

27

4

，又r∈N，∴r=6
所以系数绝对值最大的是第七项T₇=（-3）⁶C₈⁶=（-3）⁶×28

点评：本题考查二项式系数的性质；二项展开式的通项公式；展开式中系数最大项的求法．