Question

若圆x²+y²=4与圆x²+y²+ay-2=0的公共弦的长度为2

3

，则常数a的值为

±2

．

Answer 1

分析：化圆x²+y²+ay-2=0为标准式，求出圆形和半径，得到其圆心在y轴上，在平面直角坐标系中画出两个圆，结合两元的公共弦长，由图可知两圆的交点坐标，然后分圆心在x轴上方和下方，利用圆心到交点的距离等于半径列式求解a的值．

解答：解：由圆x²+y²+ay-2=0，得x2+(y+

a

2

)2=2+

a2

4

，表示以（0，-

a

2

）为圆心的圆．
当a＜0时，是圆心在x轴上方的圆，当a＞0时，是圆心在x轴下方的圆．
圆x²+y²=4是以（0，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：
∵圆x²+y²=4与圆x²+y²+ay-2=0的公共弦的长度为2

3

，
∴两圆焦点的横坐标分别为-

3

，

3

，代入圆x²+y²=4，得y=±1．
当圆x²+y²+ay-2=0的圆心在x轴上方，交点为(-

3

，1)，(

3

，1)，圆心与交点距离为半径，
即

(0- 3 )2+(- a 2 -1)2

=

2+ a2 4

，解得：a=-2；
当圆x²+y²+ay-2=0的圆心在x轴下方，交点为(-

3

，-1)，(

3

，-1)，圆心与交点距离为半径，
即

(0- 3 )2+(- a 2 +1)2

=

2+ a2 4

，解得a=2．
综上，常数a的值为±2．
故答案为：±2．

点评：本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力，是中档题．