Question

四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的面积取得最大时，表面积等于4+4

3

，则球O的体积等于

8 2 π

3

．

Answer 1

分析：当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表面积等于4+4

3

，确定该四棱锥的底面边长和高，进而可求球的半径为R，从而可求球的体积．

解答：解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，
∵该四棱锥的表面积等于4+4

3

，
设球O的半径为R，则AC=2R，SO=R，如图，
∴该四棱锥的底面边长为 AB=

2

R，
则有（

2

R）2+4×

1

2

×

2

R×

( 2 R 2 )2+R2

=4+4

3

，
解得R=

2

∴球O的体积是

4

3

πR³=

8 2 π

3

．
故答案为：

8 2 π

3

．

点评：本题考查球内接多面体，球的体积，解题的关键是确定球的半径，再利用公式求解．