Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面平面，，点,,分别为线段，，的中点，点是线段的中点.求证：

（1）平面；

（2）.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）连AF交BE于Q，连QO，推导出Q是△PAB的重心，从而FG∥QO，由此能证明FG∥平面EBO．

（2）推导出BO⊥AC，从而BO⊥面PAC，进而BO⊥PA，再求出OE⊥PA，由此能证明PA⊥平面EBO，利用线面垂直的性质可证PA⊥BE．

（1）连接AF交BE于Q，连接QO，

因为E，F分别为边PA，PB的中点，

所以Q为△PAB的重心，可得：2，

又因为O为线段AC的中点，G是线段CO的中点，

所以2，

于是，

所以FG∥QO，

因为FG平面EBO，QO平面EBO，

所以FG∥平面EBO．

（2）因为O为边AC的中点，AB＝BC，

所以BO⊥AC，

因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO平面ABC，

所以BO⊥平面PAC，

因为PA平面PAC，

所以BO⊥PA，

因为点E，O分别为线段PA，AC的中点，

所以EO∥PC，

因为PA⊥PC，

所以PA⊥EO，

又BO∩OE＝O，BO，EO平面EBO，

所以PA⊥平面EBO，

因为BE平面EBO，

所以PA⊥BE．