Question

椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆面积为π，A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则|y₂-y₁|的值为（　　）

• A、

  5

  3

• B、

  10

  3

• C、

  20

  3

• D、

  5

  3

Answer 1

分析：根据椭圆方程求得焦距|F₁F₂|=6，由椭圆的定义算出△ABF₂的周长为4a=20，由圆面积公式算出△ABF₂的内切圆半径r=1．利用内切圆的性质把△PF₁F₂分割成3个三角形，由三角形的面积公式算出△PF₁F₂的面积等于10，再利用面积相等建立关系式得到关于|y₂-y₁|的等式，解之即可求得|y₂-y₁|的值．

解答：解：椭圆

x2

25

+

y2

16

=1中，a=5，b=4，
∴c=

a2-b2

=3，可得焦点坐标为F₁（-3，0），F₂（3，0）．
根据椭圆的定义得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=10，
∴△ABF₂的周长为|AB|+|AF₂|+|BF₂|
=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=20
设△ABF₂的内切圆的圆心为I，半径为r，
由内切圆面积S=πr²=π，解得r=1
∴S△ABF2=S_△ABI+S△AF2I+S△BF2I=

1

2

|AB|r+|AF₂|r+|BF₂|r
=

1

2

（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）×r=

1

2

×20×1=10，
又∵S△ABF2=

1

2

|F₁F₂|•|y₂-y₁|，
∴

1

2

×6×|y₂-y₁|=10，解得|y₂-y₁|=

10

3

．
故选：B

点评：本题给出椭圆的内接三角形的内切圆面积，求|y₂-y₁|的纵坐标．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、三角形的内切圆的性质和三角形的面积公式等知识，属于中档题．解决问题的关键是熟练掌握椭圆的定义与性质，熟练运用三角形的内切圆的有关知识．