Question

已知两定点A(-

3

 ， 0)、B(

3

 ， 0)，直线l过点A且与直线y=

2

x+1平行，则l上满足||PA|-|PB||=2的点P的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、无法确定

Answer 1

分析：由题意得直线l的方程为y=

2

x+

6

双曲线的方程为x2-

y2

2

=1，点P在l上且满足||PA|-|PB||=2因为双曲线的渐近线y=±

2

x与直线l平行所以结合着图形得直线l与双曲线的交点只有一个，即l上满足||PA|-|PB||=2的点P的个数为1

解答：解：∵直线l过点A且与直线y=

2

x+1平行
∴直线l的方程为y= 

2

x+

6

由题意可得若点P满足||PA|-|PB||=2＜2

3

则点P在以A(-

3

， 0)、B(

3

， 0)为焦点以2为实轴，以2

2

为虚轴的双曲线上
即双曲线的方程为x2-

y2

2

=1
由题意得点P在l上且满足||PA|-|PB||=2
∴点P为直线l与双曲线的交点
∵双曲线的渐近线y=±

2

x与直线l平行
∴直线l与双曲线的交点只有一个
∴l上满足||PA|-|PB||=2的点P的个数为1
故答案为B

点评：本题考查双曲线方程的求解以及直线与双曲线的位置关系，在判断位置关系时要特别注意直线与双曲线渐近线的关系．