Question

    已知数集具有性质；对任意的

，与两数中至少有一个属于。

（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

（Ⅱ）证明：，且；

（Ⅲ）证明：当时，成等比数列。

Answer 1

（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P； 由于都属于数集，∴该数集具有性质P。

（Ⅱ）证明见解析。

（Ⅲ）证明见解析。

解析:

本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分

分类讨论等数学思想方法。本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题。

（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P；由于都属于数集， ∴该数集具有性质P。

（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，

由于，∴，故。

从而，∴。

∵， ∴，故。

          由A具有性质P可知。

又∵，

∴，

从而，

∴。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，

      ∵，∴，∴，

由A具有性质P可知。

由，得，且，∴，

∴，即是首项为1，公比为成等比数列。