Question

偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=1-x，则关于x的方程f(x)=(

1

9

)x，在x∈[0，3]上解的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：首先有已知条件推导函数f（x）的性质，再利用函数与方程思想把问题转化，数形结合，即可得解．

解答：解：∵f（1-x）=f（x+1）
∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）
又∵f（x）是偶函数
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=f（x+2），
∴原函数的周期T=2．
又∵x∈[0，1]时，f（x）=-x+1．
设y₁=f（x），y₂=f(x)=(

1

9

)x，
则关于x的方程f(x)=(

1

9

)x，在x∈[0，3]上解的个数是即为函数 y₁=f（x）
和 y₂=f(x)=(

1

9

)x交点的个数．
由以上条件，可画出 y₁=f（x），y₂=f(x)=(

1

9

)x的图象，当x=

1

2

时，y₁＞y₂，当x=1时，y₁＜y₂，
故在（

1

2

，1）上有一个交点．
结合图象可得在[0，3]上y₁=f（x），y₂=f(x)=(

1

9

)x共有4个交点，
∴在[0，3]上，原方程有4个根，
故选D．

点评：本题考察函数的奇偶性、周期性、对称性，体现了函数与方程思想，数形结合思想，属较难题．