Question

已知函数．
（I）若f（x）在处取极值，
①求a、b的值；
②存在，使得不等式f（x₀）﹣c≤0成立，求c的最小值；
（II）当b=a时，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．
（参考数据e^2_≈7.389，e^3_≈20.08）

Answer 1

解：（Ⅰ）①∵，定义域为（0，+∞）
∴
∵f（x）在处取得极值，
∴
即，
所以所求a，b值均为
②在存在x₀，使得不等式f（x₀）﹣c≤0成立，则只需c≥[f（x）]_min
由
∴当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈[1，2]时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴f（x）在处有极小值
而
又，
因，
∴，
∴，
故 ．
（Ⅱ）当 a=b 时，
①当a=0时，f（x）=lnx，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，∵x＞0，∴2ax²+x+a＞0，
∴f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，设g（x）=2ax²+x+a，只需△≤0，
从而得，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减；
综上可得，