Question

（2013•杭州二模）已知函数f（x）=-x³+ax（a＞0）．
（I）当a=1时，求过点P（-1，0）且曲线y=f（x）相切的直线方程；
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，不等式

1

4

x-

1

4

≤f(x)≤

1

4

x+

1

4

恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

分析：（I）当a=1时，点P在曲线上，即为切点，切线斜率k=f′（-1），利用点斜式即可求得切线方程；
（Ⅱ）不等式

1

4

x-

1

4

≤f(x)≤

1

4

x+

1

4

恒成立，等价于

1

4

x-

1

4

≤-x3+ax恒成立，且-x3+ax≤

1

4

x+

1

4

恒成立，分别分离出参数a后，转化为函数的最值解决即可；

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=）=-x³+x，f（-1）=1-1=0，即点P在曲线y=f（x）上，
f′（x）=-3x²+1，切线斜率k=f′（-1）=-3+1=-2，
所以与曲线y=f（x）相切的直线方程为：y=-2（x+1），即y=-2x-2；
（Ⅱ）

1

4

x-

1

4

≤f(x)≤

1

4

x+

1

4

，即

1

4

x-

1

4

≤-x3+ax≤

1

4

x+

1

4

，
等价于

1

4

x-

1

4

≤-x3+ax恒成立，且-x3+ax≤

1

4

x+

1

4

恒成立，
（1）当x=0时，

1

4

x-

1

4

≤-x3+ax，即-

1

4

≤0，显然成立，a∈R；
当0＜x≤1时，a≥x²-

1

4x

+

1

4

，而x²-

1

4x

+

1

4

在（0，1]上递增，
所以当x=1时，x²-

1

4x

+

1

4

取得最大值1，所以a≥1，
故

1

4

x-

1

4

≤-x3+ax恒成立时，a≥1；
（2）当x=0时，-x3+ax≤

1

4

x+

1

4

，即0≤

1

4

，显然成立，此时a∈R；
当0＜x≤1时，a≤x²+

1

4x

+

1

4

，
令h（x）=x²+

1

4x

+

1

4

，则h′（x）=2x-

1

4x2

=

(2x-1)(4x2+2x+1)

4x2

，
当0＜x＜

1

2

时，h′（x）＜0，h（x）递减，当

1

2

＜x≤1时，h′（x）＞0，h（x）递增，
所以h（x）在（0，1]上的最小值为h（

1

2

）=

1

4

+

1

2

+

1

4

=1，所以a≤1，
故-x3+ax≤

1

4

x+

1

4

恒成立时，a≤1，
综上所述，当x∈[0，1]时，不等式

1

4

x-

1

4

≤f(x)≤

1

4

x+

1

4

恒成立，a的取值集合{1}．

点评：本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程、求函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题往往转化为函数最值解决．