Question

7．已知函数f（x）=a^x-1+log_ax在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a，则实数a为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由于函数y=a^x-1 和y=log_ax有相同的单调性，所以分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论，分别求出其最大（小）值，列出关于a的方程求解．

解答 解：分两类讨论，过程如下：
①当a＞1时，函数y=a^x-1 和y=log_ax在[1，2]上都是增函数，
∴f（x）=a^x-1+log_ax在[1，2]上递增，
∴f（x）_max+f（x）_min=f（2）+f（1）=a+log_a2+1=a，
∴log_a2=-1，得a=$\frac{1}{2}$，舍去；
②当0＜a＜1时，函数y=a^x-1 和y=log_ax在[1，2]上都是减函数，
∴f（x）=a^x-1+log_ax在[1，2]上递减，
∴f（x）_max+f（x）_min=f（2）+f（1）=a+log_a2+1=a，
∴log_a2=-1，得a=$\frac{1}{2}$，符合题意；
故选A．

点评 本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，涉及函数的单调性和最值，体现了分类讨论的解题思想，属于中档题．