Question

设函数f（x）=x-xlnx．数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（Ⅱ）证明：a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅲ）设b∈（a₁，1），整数k≥

a1-b

a1lnb

．证明：a_k+1＞b．

Answer 1

分析：（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而
进行证明．
（2）由题意数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），求出a_n+1=a_n-a_nlna_n，然后利用归纳法进行证明；
（3）由题意f（x）=x-xlnx，a_n+1=f（a_n）可得a_k+1=a_k-b-a_k，然后进行讨论求解．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x-xlnx，
∴f′（x）=-lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）=-lnx＞0
故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）
（i）当n=1时，0＜a₁＜1，a₁lna₁＜0，
a₂=f（a₁）=a₁-a₁lna₁＞a₁，
∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，
∴f（x）在区间（0，1]是增函数，
a₂=f（a₁）=a₁-a₁lna₁＜1，即a₁＜a₂＜1成立，
（ⅱ）假设当x=k（k∈N⁺）时，a_k＜a_k+1＜1成立，
即0＜a₁≤a_k＜a_k+1＜1，
那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a₁≤a_k＜a_k+1＜1，
得f（a_k）＜f（a_k+1）＜f（1），
而a_n+1=f（a_n），
则a_k+1=f（a_k），a_k+2=f（a_k+1），a_k+1＜a_k+2＜1，
也就是说当n=k+1时，a_n＜a_n+1＜1也成立，
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，a_n＜a_n+1＜1恒成立．

（Ⅲ）证明：由f（x）=x-xlnx，a_n+1=f（a_n）可得
a_k+1=a_k-b-a_k=a1-b-

k

i=1

ailnai，
1）若存在某i≤k₂，满足a_i≤b3，，则由（Ⅱ）知：a_k+1-b＜a_i-b≥04，
2）若对任意i≤k₆，都有a_i＞b，则a_k+1=a_k-b-a_klna_k=a1-b-

k

i=1

ailnai=a1-b-

k

i=1

ailnb≥a₁-b₁-ka₁ln=0，
即a_k+1＞b成立．

点评：此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．