Question

一个均匀的正四面体面上分别涂有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b、c．
（Ⅰ）记z=（b-3）²+（c-3）²，求z=4的概率；
（Ⅱ）若方程x²-bx-c=0至少有一根a∈1，2，3，4，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．

Answer 1

分析：（I）由于我们要将均匀的面上分别涂有1、2、3、4四个数字的正四面体随机投掷两次，故基本事件共有4×4=16个，然后求出z=4时，基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到结果．
（II）分类讨论方程根分别为1，2，3，5时，基本事件的个数，然后代入古典概型公式即可得到结果．

解答：解：（Ⅰ）因为是投掷两次，因此基本事件（b，c）共有4×4=16个
当z=4时，（b，c）的所有取值为（1，3）、（3，1）
所以P(z=4)=

2

16

=

1

8

（Ⅱ）①若方程一根为x=1，则1-b-c=0，即b+c=1，不成立．
②若方程一根为x=2，则4-2b-c=0，即2b+c=4，所以

b=1 c=2

．
③若方程一根为x=3，则9-3b-c=0，即3b+c=9，所以

b=2 c=3

．
④若方程一根为x=4，则16-4b-c=0，即4b+c=16，所以

b=3 c=4

．
综合①②③④知，（b，c）的所有可能取值为（1，2）、（2，3）、（3，4）
所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为p=

3

16

点评：本题考查的知识是等可能性事件的概率，求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键．