Question

已知函数f（x）=lnx，，
（1）设函数F（x）=2g（x）﹣f（x），求F（x）的极小值．
（2）设函数F（x）=ag（x）﹣f（x），（a＞0），若F（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
（3）若＞x₂＞0，总有m[g（）﹣g（x₂）]＞f（）﹣x₂f（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1），

因a＞0时，
令F'（x）≥0，则，
故F（x）在上单调递减，在上单调递增，
故F（x）在（0，+∞）上的最小值为
（2）由（1）知，F（x）在（0，+∞）上的最小值为，
解得，
所以a取值范围是
（3）已知可转化为＞x₂＞0时，mg（）﹣f（）≥mg（x₂）﹣x₂f（x₂）恒成立，
令，则h（x）为单调递增的函数，
故h'（x）=mx﹣lnx﹣1≥0恒成立，即恒成立    
令，则，
所以当x∈（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）单调递增
当x∈（1，+∞）时，m'（x）＜0，m（x）单调递减
m（x）≤m（1）=1，
故m≥1