题目内容

设函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）若函数 $数学公式$ 有两个零点，求a的取值范围．

解：（1）求导数可得 $\text{[math]}$
令f′（x）＞0，∵a＞0，∴-1＜x＜1；令f′（x）＜0，∵a＞0，∴x＜-1或x＞1；
∴x=1是函数的极大值点，x=-1是函数的极小值点；
（2）由（1）知，f（x）的极大值为f（1）= $\text{[math]}$
∵a＞0，∴x＞0时， $\text{[math]}$ ；x＜0时， $\text{[math]}$ ；
∴f（1）= $\text{[math]}$ 为函数的最大值
∵函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，
∴ $\text{[math]}$
∴a＞1
∴a的取值范围是（1，+∞）．
分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可得到求函数f（x）的极值点；
（2）f（x）的极大值为f（1）= $\text{[math]}$ ，且为最大值，根据函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，可得不等式，从而可求a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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