Question

在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，

AB

•

AC

=8，∠BAC=θ，a=4．
（1）求bc的最大值；  
（2）求函数f(θ)=

3

sin2θ+cos2θ-1的值域．

Answer 1

分析：（1）由题意可得bc•cosθ=8，代入余弦定理可得b²+c²=32，由基本不等式可得b²+c²≥2bc，进而可得bc的最大值；
（2）结合（1）可得cosθ≥

1

2

，进而可得θ的范围，由三角函数的知识可得所求．

解答：解：（1）∵

AB

•

AC

=bc•cosθ=8，
由余弦定理可得16=b²+c²-2bc•cosθ=b²+c²-16，
∴b²+c²=32，又b²+c²≥2bc，
∴bc≤16，即bc的最大值为16，
当且仅当b=c=4，θ=

π

3

时取得最大值；
（2）结合（1）得，

8

cosθ

=bc≤16，∴cosθ≥

1

2

，
又0＜θ＜π，∴0＜θ≤

π

3

，
∴f(θ)=

3

sin2θ+cos2θ-1=2sin（2θ+

π

6

）-1
∵0＜θ≤

π

3

，∴

π

6

＜2θ+

π

6

≤

5

6

π，∴

1

2

≤sin（2θ+

π

6

）≤1，
当2θ+

π

6

=

5

6

π，即θ=

π

3

时，f（θ）_min=2×

1

2

-1=0，
当2θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

6

时，f（θ）_max=2×1-1=1，
∴函数f（θ）的值域为[0，1]

点评：本题考查余弦定理以及三角函数的值域，涉及平面向量数量积的定义，属中档题．