Question

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别为AB、PC的中点。

（1）求异面直线PA与BF所成角的正切值。

（2）求证：EF⊥平面PCD。

Answer 1

（12分）解：（1）如图，连结AC

过点F作FO⊥AC，∴面PAC⊥面ABCD

∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥AC，垂足为O，

连结BO，则FO⊥平面ABCD，且FO//PA。

∴∠BFO为异面直线PA与BF所成的角………………4分

在Rt△BOF中，OFPA=1，

OB=，则tanBFO=………………6分

（2）连结OE、CE、PE。    ∵E是AB的中点，

∴OE⊥AB       又FO⊥平面ABCD，   ∴EF⊥AB。

∵AB//CD         ∴EF⊥CD

在Rt△PAE和Rt△CBE中，PA=CB，AE=BE，∴Rt△PAE≌Rt△CBE，

∴PE=CE…………………………10分

∴又F为PC的中点，      ∴EF⊥PC。

故EF⊥平面PCD。……………………12分