Question

 

 

附加题：（本小题10分，实验班同学必做，其他班学生选做）

是否存在常数a，使得函数f (x)＝sin²x＋acosx＋－在闭区间上的最大值为1？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

存在a＝使得f (x)在闭区间上的最大值为1

【解析】解：f (x)＝sin²x＋acosx＋－

      ＝1－cos²x＋acosx＋－＝－cos²x＋acosx＋－   

＝－(cosx－a)²＋＋－                        

∵，∴0≤cosx≤1，                                  ………………1分

①       若＞1，即a＞2，则当cosx＝1时，f (x)取得最大值，

f (x)_最大值＝－(1－a)²＋＋－＝                 ……………3分

令＝1，解得＜2（舍去）                        ……………4分

②若0≤≤1，即0≤a≤2，则当cosx＝时，f (x)取得最大值，

f (x)_最大值＝－(a－a)²＋＋－＝＋－       ……………6分

令＋－＝1，解得或＜0（舍去）         ……………7分

③若＜0，即a＜0，则当cosx＝0时，f (x)取得最大值，

f (x)_最大值＝－(0－a)²＋＋－＝－              ……………8分

令－＝1，解得＞0（舍去）                     ……………9分

综上，存在a＝使得f (x)在闭区间上的最大值为1        ……………10分