题目内容
已知数列{an}是首项为a1=
，公比q=
的等比数列，设bn+2=3
an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn．（Ⅰ）求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若cn≤
m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】分析：（Ⅰ）根据首项与公比，利用等比数列的通项公式写出数列{an}的通项公式，代入到bn+2=3
an中，根据对数的运算性质化简即可求出{bn}的通项公式；
（Ⅱ）把第一问求出的两数列的通项公式代入cn=an•bn中，确定出cn的通项公式，表示出cn+1-cn，判断得到其差小于0，故数列{cn}为递减数列，令n=1求出数列{cn}的最大值，然后原不等式的右边大于等于求出的最大值，列出关于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即为实数m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，an=
（n∈N*），
易得bn=3
an-2=3n-2；
（Ⅱ）cn=an•bn=（3n-2）•
，
∴cn+1-cn=（3n+1）•
-（3n-2）•
=9（1-n）•
（n∈N*），
∴当n=1时，c2=c1=
，
当n≥2时，cn+1＜cn，即c1=c2＞c3＞c4＞…＞cn，
∴当n=1时，cn取最大值是
，又cn≤
m2+m-1对一切正整数n恒成立，
∴
m2+m-1≥
，即m2+4m-5≥0，
解得：m≥1或m≤-5．
点评：此题考查了等比数列的通项公式，对数的运算性质及数列与不等式的综合．要求学生熟练掌握对数的运算性质，以及不等式恒成立时满足的条件．
an中，根据对数的运算性质化简即可求出{bn}的通项公式；（Ⅱ）把第一问求出的两数列的通项公式代入cn=an•bn中，确定出cn的通项公式，表示出cn+1-cn，判断得到其差小于0，故数列{cn}为递减数列，令n=1求出数列{cn}的最大值，然后原不等式的右边大于等于求出的最大值，列出关于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即为实数m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，an=
（n∈N*），易得bn=3
an-2=3n-2；（Ⅱ）cn=an•bn=（3n-2）•
，∴cn+1-cn=（3n+1）•
-（3n-2）•=9（1-n）•（n∈N*），∴当n=1时，c2=c1=
，当n≥2时，cn+1＜cn，即c1=c2＞c3＞c4＞…＞cn，
∴当n=1时，cn取最大值是
，又cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立，∴
m2+m-1≥，即m2+4m-5≥0，解得：m≥1或m≤-5．
点评：此题考查了等比数列的通项公式，对数的运算性质及数列与不等式的综合．要求学生熟练掌握对数的运算性质，以及不等式恒成立时满足的条件．
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