Question

【题目】已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】a≤﹣2或a＞﹣
【解析】解：f（x）=2x﹣1+a，

g（x）=bf（1﹣x）=b（21﹣x﹣1+a）=b（2﹣x+a），

∵f（x）≥g（x），

∴2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），

令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）= +a﹣ ﹣ab= ﹣ +a﹣ab，

①若b＜0，则 （ ﹣ +a﹣ab）=+∞，与关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2相矛盾，故不成立；

②若b=0，则F（x）= ﹣ +a﹣ab在R上是增函数；即F（x）= +a≥0的解集为[2，+∞），a=﹣2；

③若b＞0，则F（x）= ﹣ +a﹣ab在R上是增函数；即F（x）≥0的解集为[2，+∞），

2+a=b（ +a），b= ＞0，a＜﹣2或a＞﹣ ；综上所述，a≤﹣2或a＞﹣ ，

所以答案是：a≤﹣2或a＞﹣ ．

【考点精析】本题主要考查了指数函数的图像与性质的相关知识点，需要掌握a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点;ax=a，即x=1时，y等于底数a;在0<a<1时:x<0时，ax>1,x>0时，0<ax<1;在a>1时:x<0时,0<ax<1,x>0时，ax>1才能正确解答此题．