Question

数列{a_n}中，a₁=1，对任意的自然数，当a_n是有理数时a_n+1=a_n，当a_n为无理数时，a_n+1=a_n -()ⁿ．

1)求{a_n}的通项公式．

(2)求(a₁+a₂+…+a_2n)．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由a1=1，，， 　　，，， 　　猜想当n为奇数时， 　　当n为偶数时． 　　下面用数学归纳法证明上面的猜想： 　　①当n=1，n=2时，猜想公式成立； 　　②假设当n=k，k为奇数时，有(是有理数)成立，则当n=k+1时，，这就是说当n=k+1时猜想也成立． 　　假设当n=k，k为偶数时，有ak=(是无理数)成立，那么当n=k+1时，，这就是说，当n=k+1时，猜想也成立，由①②知，对一切自然数n，所求通项公式成立． 　　(2)S2n=a1+a2+a3+…+a2n 　　　　 =(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) 　　　　 ， 　　∴　(a1+a2+…+a2n) 　　=(a1+a3+a5+…)+(a2+a4+a6+…) 　　 　　．