Question

若函数f（x）=

1

3

x³-ax²+ax在（0，1）内有极大值，在（1，2）内有极小值，则实数a的取值范围是（　　）

• A、0＜a＜

  4

  3

  ．
• B、1＜a＜

  4

  3

  ．
• C、a＞1或a＜0．
• D、0＜a＜1．

Answer 1

分析：对函数f（x）=

1

3

x³-ax²+ax求导，根据函数f（x）=

1

3

x³-ax²+ax在（0，1）内有极大值，在（1，2）内有极小值，转化为f′（x）的图象在区间（0，1）和（1，2）上与x轴各有一个交点，根据二次函数根的分布求出实数a的取值范围．

解答：解：f′（x）=x²-2ax+a
∵函数f（x）=

1

3

x³-ax²+ax在（0，1）内有极大值，在（1，2）内有极小值，
∴f′（x）=x²-2ax+a在（0，1）和（1，2）上各有一个零点，
∴

f′(0)=a＞0 f′(1)=1-a＜0 f′(2)=4-3a＞0

，解得1＜a＜

4

3

，
故选B．

点评：考查利用导数研究函数的极值问题，转化为二次函数根的分布问题，体现了转化的思想方法；求有关二次函数根的分布问题，体现了数形结合的思想，属中档题．