Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当m=1时，若方程在区间上有唯一的实数解，求实数a的取值范围；

（3）当m＞0时，若对于区间[1，2]上的任意两个实数x1，x2，且x1＜x2，都有成立，求实数m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）求得函数定义域后对函数求导，对分成两类，讨论函数的单调区间.（2）化简，分离出常数.利用导数求得函数的单调区间，由此求得的取值范围.（3）由（1）知函数在上递增.由此去掉绝对值化简题目所给不等式，构造函数，利用在上递减，导数小于零，分离出常数，再利用导数求得的最大值.

（1）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=x+m+=，

m≥0时，f′（x）＞0， 故m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增；

m＜0时，方程x2+mx+m=0的判别式为： △=m2-4m＞0，

令f′（x）＞0，解得：x＞，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故m＜0时，f（x）在（，+∞）递增，在（0，）递减；

（2）m=1时，由题意得： x2+x+lnx=x2+ax， 整理得：a=1+，

令g（x）=1+，g′（x）=，

令g′（x）＞0，解得：x∈（0，e），函数g（x）在（0，e）递增，

令g′（x）＜0，解得：x∈（e，+∞），函数g（x）在（e，+∞）递减；

若方程f（x）=x2+ax在[e，+∞）上有唯一实数根，

须求g（x）在[e，+∞）上的取值范围，

g（x）≤g（e）=1+，又g（x）=1+＞1，（x＞e）， ∴a的范围是g（）≤a≤1，

即1-e≤a≤1；

（3）由（1）知，当m＞0时，函数f（x）在（0，+∞）递增，

又[1，2]（0，+∞），故f（x）在[1，2]递增；

对任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）， 故f（x2）-f（x1）＞0，

由题意得：f（x2）-f（x1）＜-， 整理得：f（x2）-＜f（x1）-，

令F（x）=f（x）-x2=-x2+mx+mlnx， 则F（x）在[1，2]递减， 故F′（x）=，

当x∈[1，2]时，-x2+mx+m≤0恒成立，即m≤，

令h（x）=，则h′（x）=＞0， 故h（x）在[1，2]递增，

故h（x）∈[，］， 故m≤．

实数的最大值为.