Question

证明不等式：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

对任意的正整数n恒成立．

Answer 1

分析：利用数学归纳法证明①当n=1时，验证不等式成立；②假设n=k（k≥1）时，不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式也成立．即可．

解答：证明：①当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；
②假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＜2

k

，
则1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＜2

k

+

1

k+1

=

2 k(k+1) +1

k+1

＜

k+(k+1)+1

k+1

=2

k+1

∴当n=k+1时，不等式也成立．
综合①②得：当n∈N^*时，都有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

．

点评：本题考查数学归纳法证明不等式的应用，考查逻辑推理能力，计算能力以及转化思想．