Question

15．若一个空间几何体的三个视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个空间几何体的外接球的表面积和内切球的表面积之比是（　　）

• A． $\frac{18+9\sqrt{3}}{2}$
• B． 18+9$\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 9

Answer 1

分析 根据题意，得出该几何体是一个三棱锥，把此三棱锥补成正方体，求出它的外接球半径R，
再利用等积法求出它的内切球半径r，即可计算该三棱锥外接球与内切球的表面积比．

解答 解：由几何体的三视图知：该几何体是一个三棱锥，如图所示，
且AB=AC=AD=1，AB，AC，AD两两垂直；
把此三棱锥补成正方体，则该三棱锥的外接球直径为正方体的对角线，
即l=2R，∴外接球半径为R=$\frac{l}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
设三棱锥的内切球半径为r，
则三棱锥的体积为
$\frac{1}{3}$r（S_△ABC+S_△ABD+S_△ADC+S_△BCD）=V_{三棱锥D-ABC}，
即$\frac{1}{3}$r（$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×1，
解得r=$\frac{1}{3+\sqrt{3}}$；
∴该三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为
$\frac{4{πR}^{2}}{4{πr}^{2}}$=$\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$=$\frac{{（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}{{（\frac{1}{3+\sqrt{3}}）}^{2}}$=$\frac{18+9\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了三棱锥的三视图、正方体外接球与内切球的表面积的计算问题，是基础题目．