Question

等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=

2

，AD是BC边上的高，P为AD的中点，点M、N分别为AB边和AC边上的点，且M、N关于直线AD对称，当

PM

•

PN

=-

1

2

时，

AM

MB

=

 

．

Answer 1

分析：可先求出AD=1，AP=

1

2

，又根据

PM

•

PN

=-

1

2

知(

PA

+

AM

)•(

PA

+

AN

)=-

1

2

，又可化简为

PA

2+(

AM

+

AN

)•

PA

+

AM

•

AN

=-

1

2

，由M、N关于直线AD对称得到|

AM

|×

1

2

×cos1350+|

AN

|×

1

2

×cos1350=-

3

4

，
从而得到答案．

解答：解：由等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=

2

，
AD是BC边上的高，P为AD的中点知AD=1，AP=

1

2

，
另

PM

•

PN

=-

1

2

知(

PA

+

AM

)•(

PA

+

AN

)=-

1

2

化简为

PA

2+(

AM

+

AN

)•

PA

+

AM

•

AN

=-

1

2

，
又M、N关于直线AD对称知|

AM

|×

1

2

×cos1350+|

AN

|×

1

2

×cos1350=-

3

4

，
故AM=

3 2

4

，所以

AM

MB

=3．
故答案为：3

点评：本题主要考查向量的数量积运算．平面向量的数量积在无论是求点乘还是求向量的模都起着至关重要的作用．