Question

【题目】如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC，的中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）利用线面垂直的判定和性质，得到平面，进而证得；

（2）建立空间直角坐标系，求面DBE和面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值.

（1）∵，D是AC的中点，∴，

∵平面ABC，∴平面平面ABC，

∴平面，∴．

又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE

∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．

又，∴平面．

又，则

（2）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系

，，，，，

，，

设平面DBE的一个法向量为，

则，

令，则，

设平面的一个法向量为，

则，

令，则，

设二面角的平面角为，观察可知为锐角，

故二面角的余弦值为．