Question

13．已知函数f（x）=x²-kx+1，若存在α∈（0，$\frac{π}{2}$），使f（sinα）=f（cosα）
（1）当k=$\frac{1}{5}$时，求tanα的值
（2）在（1）的成立的基础上，求$\frac{{2{{sin}^2}α-2sinα•cosα}}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）当k=$\frac{1}{5}$时，求tanα的值
（2）根据条件分别求出sinα，cosα，tanα的值代入即可．

解答 解：（1）把k=$\frac{1}{5}$代入方程得：f（x）=x²-$\frac{1}{5}$x+1，
∵f（sinα）=f（cosα），
∴sin²α-$\frac{1}{5}$sinα+1=cos²α-$\frac{1}{5}$cosα+1，
整理得：sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，
两边平方得：1+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，即2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$＜0，
∴sinα＞0，cosα＜0，
解得：sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，
则tanα=-$\frac{4}{3}$；
（2）原式=$\frac{2×\frac{16}{25}-2×\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）}{1-\frac{4}{3}}$=-$\frac{168}{25}$．

点评 此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．