Question

设函数f（x）=x-xlnx，数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）。
（1）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（2）证明：a_n＜a_n+1＜1；
（3）设b∈（a₁，1），整数k≥。证明：a_k+1＞b。

Answer 1

解：（1）当0＜x＜1时，f'（x）=1-lnx-1=-ln-x>0
所以函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（2）当0＜x＜1时，f（x）=x-xlnx>x，
又由（1）及f（x）在x=1处连续知，
当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=1，
因此，当0＜x＜1时，0＜x＜f（x）＜1  ①
下面用数学归纳法证明：  ②
（i）由0＜a₁＜1，a₂=f（a₁），应用式①得0＜a₁＜a₂＜1，即当n=1时，不等式②成立；
（ii）假设n=k时，不等式②成立，即

则由①可得

即
故当n=k+1时，不等式②也成立
综合（i）（ii）证得
；
（3）由（2）知，{a_n}逐项递增，故若存在正整数m≤k，使得
，则
否则若a_m＜b（m≤k），则由0＜a₁≤a_m＜n＜1（m≤k）知



由③知
于是。