Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在区间（0，2）上有两上不等的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：要求函数f（x）的单调区间，就需要求函数的导数，但在函数解析式中有参数a所以先跟据函数在x=0处取得极值求的a=1，然后根据利用单数判断单调性的步骤来做即可．在第二问中，先把方程转化为函数g（x），方程有两个不等的实根也就相当于函数在（0，2）上有两个不同的零点．根据函数零点的判断，可得g（0）＜0，g（1）＞0，g（2）＜0．

解答：解：（1）∵f（x）=ln（x+a）-x²-x
∴f′（x）=

1

x+a

-2x-1=

1-2x(x+a)-(x+a)

x+a

∵函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值
∴f′（x）=0，∴

1-a

a

=0∴a=1
          即f′（x）=

1-2x(x+1)-(x+1)

x+1

=

-2x(x+ 3 2 )

x+1

 （x＞-1）
          由f′（x）＞0得-1＜x＜0，由f′（x）＜0得 x＞0
∴f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）．
（2）令g（x）=f（x）-（-

5

2

x+b）=ln（x+1）-x²+

3

2

x-b，x∈（0，2）
     则g′（x）=

1

x+1

-2x+

3

2

     令g′（x）=0得x=1或x=-

5

4

（舍去）
     当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当1＜x＜2时g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减
    方程f（x）=-

5

2

x+b在区间（0，2）上有两个不等的实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点
∴

g(0)＜0 g(1)＞0 g(2)＜0

?

-b＜0 ln2+ 1 2 -b＞0 ln3-1-b＜0

?

b＞0 b＜ln2+ 1 2 b＞ln3-1

∴ln3-1＜b＜ln2+

1

2

     即实数b的取值范围是ln3-1＜b＜ln2+

1

2

点评：1、利用导数判断函数单调性的原理，掌握判断方法和步骤；
2、如果函数y=f（x）在区间[a，b]上图象是连续不断的曲线，并且有 f（a）f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，
即至少存在一个数c∈[a，b]使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的一个根．