Question

函数f（x）为定义在R上的奇函数，当 x∈（0，1）时，f(x)=

2x

2x+1

．
（1）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并证明．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）为定义在R上的奇函数，可得f（0）=0；再根据当x∈（0，1）时的表达式，可得x∈（-1，0）时，
f（x）=-

1

2x+1

，综上所述即得函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）利用单调性的定义，令0＜x₁＜x₂＜1，可得f（x₁）-f（x₂）=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，因为2x1-2x2＜0，(2x1+1)•(2x2+1)＞0，所以f（x₁）＜f（x₂）．由此可得，函数f（x）在（0，1）上的是单调增函数．

解答：解：（1）∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（-0）=-f（0），可得f（0）=0，
当x∈（-1，0）时，f（-x）=

2-x

2-x+1

=

1

2x+1

=-f（x），
∴x∈（-1，0）时，f（x）=-

1

2x+1

综上所述，f(x)=

f(x)= 2x 2x+1        (0＜x＜1) 0                (x=0) f(x)=- 1 2x+1         (-1＜x＜0)

（2）∵当 x∈（0，1）时，f(x)=

2x

2x+1

．
∴令0＜x₁＜x₂＜1，可得f（x₁）-f（x₂）=

2x1

2x1+1

-

2x2

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

∵2x1-2x2＜0，(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂）
由此可得，函数f（x）在（0，1）上的是单调增函数．

点评：本题以含有指数式的分式函数为例，考查了函数的单调性与奇偶性等简单性质等知识点，属于中档题．