Question

已知f1(x)=

x-1

x+1

，对任意n∈N^*，恒有f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，则f₂₀₁₄（2013）=（　　）

• A．

  1006

  1007

• B．-

  1007

  1006

• C．2013
• D．-

  1

  2013

Answer 1

分析：由条件求得则f₂（x）=

-1

x

，f₃（x）=

1+x

1-x

，f₄（x）=x，f₅=f₁[f₄（x）]=f₁（x），故f_n（x）是以4为周期的周期函数再根据f₂₀₁₄（2013）=f₂（2013），运算求得结果．

解答：解：已知f1(x)=

x-1

x+1

，对任意n∈N^*，恒有f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，则f₂（x）=f₁[f₁（x）]=

f1(x)-1

f1(x)+1

=

x-1 x+1 -1

x-1 x+1 +1

=

-1

x

，
f₃（x）=f₁[f₂（x）]=

f2(x)-1

f2(x)+1

=

-1 x -1

-1 x +1

=

1+x

1-x

，f₄（x）=f₁[f₃（x）]=

f3(x)-1

f3(x)+1

=

x+1 1-x -1

x+1 1-x +1

=x，
f₅=f₁[f₄（x）]=

f4(x)-1

f4(x)+1

=

x-1

x+1

=f₁（x），故f_n（x）是以4为周期的周期函数，
故f₂₀₁₄（2013）=f₂（2013）=

-1

2013

，
故选D．

点评：本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，属于基础题．