Question

已知函数f(x)＝sin xcos x－cos²x－，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；

(2)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝0，若向量m＝(1，sin A)与n＝(2，sin B)共线，求a，b的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)_min＝－2，最小正周期为π；（2）a＝，b＝2.

【解析】本试题主要是考查了三角函数的化简和解三角形的综合运用。

（1）利用二倍角的正弦和余弦公式化简为单一三角函数，得到周期

（2）利用第一问的结论，得到f(C)＝sin－1＝0，然后利用三角方程得到角C的值。然后利用正弦定理得到b=2a，然后结合余弦定理求解得到a，b的值。

解　(1)f(x)＝sin xcos x－cos²x－＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1，

∴f(x)_min＝－2，最小正周期为π.

(2)∵f(C)＝sin－1＝0，∴sin＝1，∵0<C<π，－<2C－<，

∴2C－＝，∴C＝.   ∵m与n共线， ∴sin B－2sin A＝0，

由正弦定理＝， 得b＝2a，①

∵c＝3，由余弦定理，得9＝a²＋b²－2abcos，②

由①②得：a＝，b＝2.