Question

已知函数f（x）=x²-6x+4lnx．
（1）给出两类直线：6x+y+m=0与3x-y+n=0，其中m，n为常数，判断这两类直线中是否存在y=f（x）的切线．若存在，求出相应的m或n的值；若不存在，说明理由．
（2）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x₀，h（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x₀，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．试问y=f（x）是否存在“类对称点”．若存在，请求出“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²-6x+4lnx，∴x＞0，，
∵＞-6，故不存在6x+y+m=0这类直线的切线；
由，解得x=，4．
当时，，把点代入方程3x-y+n=0，解得n=；
当x=4时，f（4）=-8+4ln4，把点（4，-8+4ln4）代入方程3x-y+n=0，解得n=4ln4-20．
（2）设点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），则g（x）-=，
∴g（x）=+，
令φ（x）=f（x）-g（x）=x²-6x+4lnx--，
则φ（x₀）=0．
φ^′（x）==，
当时，φ（x）在上φ^′（x）＜0，∴φ（x）在此区间上单调递减，
∴时，φ（x）＜φ（x₀）=0．
从而时，．
当时，φ（x）在上φ^′（x）＜0，∴φ（x）在此区间上单调递减，
∴时，φ（x）＞φ（x₀）=0．
从而时，．
∴在不存在“类对称点”．
当时，
，∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数，故．
因此x=是一个“类对称点”的横坐标．
分析：（1）利用导数的几何意义即可判断出曲线的切线的斜率的取值范围，进而即可得出答案；
（2）利用“类对称点”的定义及导数即可得出答案．
点评：正确理解导数的几何意义、“类对称点”的意义及熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．